회전 행렬 유도

회전행렬(Rotation matrix)은 좌표의 회전이 필요할 때 자주 사용된다. 한 번 유도를 해보면 시계 방향 회전이나 반시계 방향 회전에 대해 이해하는 것도 어렵지 않다. 그래서 그냥 무심코 사용하는 것보다 원리를 이해는 것이 중요하다.

(x', y')는 중심 c를 기준으로 r만큼 떨어진(x, y)를 θ만큼 회전시킨 좌표다. 각 좌표는 삼각함수를 이용하여 표현할 수 있다.

같은 방법으로 (x', y')를 나타내면,

가 된다. 이를 삼각함수 합 법칙을 적용하면

가 된다. 여기에 (x, y)를 대입하면 다음과 같다.

이 식을 행렬로 바꾸면 다음과 같이 표현할 수 있다.

반시계 방향으로 회전하려면 각을 빼면 된다.